В 1169 ГОДУ БОЖЬЯ МАТЕРЬ ОБРАТИЛАСЬ К ИИСУСУ ХРИСТУ С ПРОСЬБОЙ НЕ ШТУРМОВАТЬ НОВГОРОД, И АНДРЕЙ БОГОЛЮБСКИЙ ТУТ ЖЕ СОГЛАСИЛСЯ.
(Г. В. Носовский и А. Т. Фоменко, «ЦАРЬ СЛАВЯН»)
(Г. В. Носовский и А. Т. Фоменко, «ЦАРЬ СЛАВЯН»)
С н а ч а л а я о б ъ я в и л М а в р е, к т о я.
(Н. В. Гоголь, «ЗАПИСКИ»)
(Н. В. Гоголь, «ЗАПИСКИ»)
МАТЕМАТИКА И МИФ СКВОЗЬ ПРИЗМУ ГЕОМЕТРИИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ И АССОЦИАЦИИ В МАТЕМАТИКЕ
Геометрическое воображение и интуиция играют огромную роль в современных математических исследованиях, в особенности, связанных с математической физикой, геометрией, топологией. Во многих глубоких научных математических работах, посвященных сложным вопросам, — например, в многомерной геометрии, в вариационном исчислении и т.п., — активно используется "наглядный жаргон", выработавшийся при исследовании двумерных и трехмерных образов. Что-то вроде — "разрежем поверхность", "склеим листы поверхности", "приклеим цилиндр", "вывернем сферу наизнанку", "присоединим ручку" и проч. Такая, — на первый взгляд "ненаучная" терминология, — отнюдь не прихоть математиков. Скорее, — "производственная необходимость". Математическое мышление довольно часто вынуждено опираться на неформальные образы, поскольку это необходимо при поиске доказательств многих технически трудных результатов. Бывает так, что доказательство строгого математического факта удается сначала "разглядеть" лишь в неформальных геометрических образах, и только потом удается оформить его как аккуратное логическое рассуждение.
У каждого профессионального математика со временем вырабатываются свои собственные представления о внутренней геометрии известного ему математического мира. А также — о наглядных образах, с которыми у него ассоциируются те или иные абстрактные математические понятия из алгебры, теории чисел, математического анализа. Оказывается, — и это чрезвычайно интересно, — что у разных математиков одни и те же абстракции часто рождают очень похожие (иногда практически тождественные!) геометрические представления. Причем эти образы "реально существуют", проявляясь в общении математиков и помогая им лучше понять друг друга.
Графический материал, предлагаемый читателю, это — попытка как бы сфотографировать изнутри своеобразный мир современной математики. Все рисунки либо основаны на конкретных математических конструкциях, идеях, теоремах, либо изображают реальные математические объекты и процессы, либо отражают абстрактные математические понятия, например, бесконечность, непрерывность, гомеоморфизм, гомотопию и т.п.
В настоящей книге собраны работы, выполненные автором в разные годы (большей частью — с 1967 по 1983 гг.). Автор многие годы читает в МГУ обязательный курс "Дифференциальная геометрия и топология", а также специальные курсы по современной геометрии и приложениям. Поэтому по собственному опыту знает, как полезно иногда проиллюстрировать сложное математическое понятие неформальным рисунком. Это помогает студентам быстрее вникнуть в суть проблемы. В этом смысле многие мои графические работы имеют прикладной характер. Не следует думать, что они идеально соответствуют своим математическим "прототипам". Сюжет каждой работы построен на сугубо субъективных ассоциациях и передает лишь авторское ви'дение математического "персонажа". Надо отдавать себе отчет в объективных трудностях, возникающих на этом пути. Невозможно (да и не нужно) идеально точно нарисовать на плоском листе бумаги объект, "живущий", скажем, в семимерном пространстве. Ведь мы привыкли лишь к трехмерным (и двумерным) образам. Поэтому, "семимерный персонаж" поневоле искажается, будучи принудительно помещен в трехмерное пространство. Приходится жертвовать точностью в пользу наглядности.
Многие работы выполнены в шутливом тоне. Я не сдерживал себя, когда удавалось придать рисунку юмористический колорит. Кроме того, многие работы апеллируют скорее к эмоциям зрителя, чем к рациональной стороне его мышления.
Возникла мысль снабдить графические работы математическими и нематематическими комментариями. Кроме математики, почти все работы отражают еще один, "второй слой" информации. Речь идет о внематематических ассоциациях, возникавших у автора в процессе работы. Они оказались разнообразными. То это шутка и желание увидеть в "сфере с пятью ручками" забавное необычное существо, то — гротеск, искажающий привычные пропорции и масштабы. То — это воспоминания о каких-то средневековых мифах. Чтобы не загромождать комментарии, ссылки на источники, содержащие те или иные мифы, опущены. Приводя фрагменты тех или иных мифов, автор устраняется от их оценки. Миф интересен тем, что отражает представления наших предков. Конечно, сегодня многие из легенд представляют всего лишь литературный интерес. Много интересных мифов собрано в книге Дж.Фрезера "Золотая ветвь"...
В истории живописи особое место занимают художники XVI-XVII веков. В их работах ярко отразились средневековая философия и научные концепции той эпохи. Интересно проследить эволюцию научных представлений за прошедшие с тех пор 300 лет. Так возник мой цикл работ "Диалог с авторами XVI века". Настоящая работа возникла как результат размышлений над известной гравюрой А.Дюрера "Меланхолия". За прошедшие со времен Дюрера три столетия многое изменилось в восприятии научных достижений. Приведем пример. Дюрер поместил в верхний правый угол магический квадрат. У нас он заменен десятичным разложением числа "е":
2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967...
Эта последовательность цифр записана по квадратной спирали, раскручивающейся от центра квадрата (см.цифру 2 в центре) против часовой стрелки. Изображены первые 121 знаков десятичного разложения числа "e". Такие десятичные разложения (некоторых иррациональных чисел) используются как датчики случайных чисел. Дело в том, что последовательность цифр десятичного разложения числа "e" (или, например, числа "пи" ), является (в некотором смысле, который мы здесь не уточняем) случайной последовательностью. Сегодня, при помощи компьютеров, вычислено много тысяч знаков десятичного разложения чисел "пи" и "e". Зритель может также найти здесь изображение сепаратрисной диаграммы критической точки индекса 1 гладкой функции, заданной на трехмерном пространстве. Это "колокольчик" с языком-сепаратрисой (рядом с числом "e").
Средневековый мистицизм достиг одной из своих вершин в толковании чисел, пытаясь при помощи арифметических операций над числами, открыть законы бытия. Например, характер протекания времени зависел от того — кто "наблюдает" за ним. Считалось, что один день творения для Бога — это тысяча лет с точки зрения обычного человека. Складывая числа, средневековый мистик был убежден, что он "суммирует" отвечающие им сущности.
Работа создана по мотивам известной гравюры Питера Брейгеля "Алхимики". Понятия математической бесконечности (уходящие за горизонт чаши с расплавленным металлом), динамических потоков, аналитических функций (облака в небе), гомеоморфизма и гомотопии (в виде деформаций человеческого тела). Отражена эволюция математических представлений за триста лет, прошедших со времен Брейгеля.
Согласно убеждению средневековых алхимиков, металлы образуют единую систему, шкалу. Следовательно, могут превращаться друг в друга. Особое внимание уделялось превращениям, в результате которых должно было получиться золото. Многие легенды описывают попытки средневековых мастеров изготовить золото из более распространенных металлов. Например, из свинца. Даосские алхимические трактаты уделяли особое внимание киновари, наделяя ее волшебными свойствами. Считалось, что при правильной многократной перегонке киновари можно получить не только золото, но даже эликсир бессмертия. Согласно некоторым рецептам, в особенно критические моменты изготовления золота, в кипящий расплав нужно добавлять такие совершенно необходимые компоненты, как сушеный хвостик мыши и т.п. Алхимики работали при дворах европейских монархов, постоянно держа их в напряжении обещаниями "вот-вот" получить груды золота. Неудачи объяснялись, естественно, происками врагов. Впрочем, современная химия в значительной мере выросла из алхимии. Как астрономия — из астрологии.
(Манин Юрий Иванович: член-корреспондент РАН, член многих иностранных академий, включая Академию Наук Ватикана, директор математического ин-та им.Макса Планка (Бонн, Германия), главный научный сотрудник математического ин-та им. В.А.Стеклова (РАН, Москва), лауреат премии Московского математического общества (1963), лауреат Ленинской премии за работы по алгебраической геометрии (1967), лауреат международной золотой медали Брауера за работы по теории чисел (1987), лауреат международной премии Фредерика Ессера Неммерса (1994).)
Автокомментарий, которым снабжен каждый лист А.Т.Фоменко, избавляет меня от необходимости разбирать отдельные работы: моя задача — указать общий для них контекст.
Самый широкий контекст — несомненно, цивилизация, в культурологическом употреблении этого слова, когда оно противопоставляется не только природе, но и культуре.
Цивилизация как образ жизни общества есть процесс, предполагающий совокупность высоко специализированных общественных действий, создающих сложные искусственные структуры, которые обречены на распад или окаменение, будучи извлеченными из своей цивилизации.
Основной материальной структурой цивилизации является Город.
Он же, в философском плане, является основной идеологемой, с которой соотносятся все проявления духовной жизни общества. Отношение к Городу может меняться в очень широких пределах, утопические пректы голубых городов будущего могут сосуществовать с призывами вернуться к почвенным ценностям, но Город неизменно находится в центре всех разнонаправленных тенденций развития цивилизации. Он питает индустрию, идеи прогресса и утопии, он же порождает исторический пессимизм, иррациональный милитаризм и темные мифы современности.
Математика — это эзотерический язык цивилизации. Неоднократно отмечалось, что математика по своему существу тавтологична; внутренний смысл любого вычисления или доказательства — сохранение истинности на всем пути от посылок до выводов: но тогда каждый шаг на этом пути — тавтология.
Цивилизация тавтологична, как математика. Ее творческий дух проявляется не столько в выборе пути по бесконечно ветвящемуся дереву тавтологий, сколько в выборе системы ценностей, которая определяет этот путь, или, скорее, отвергаемые пути.
Листы Фоменко задают эту систему ценностей серией отрицаний, что обусловлено вторым, суженным контекстом его творчества — цивилизацией двадцатого века.
Вот возможное словесное чтение этой графики; тоталитаризм есть геометрия: свобода есть свобода бегства, а не бега: уход во внутреннюю свободу есть деформация тела и души.
Христианство видится через систему призм, преломляющих изначальный образ, который уже невосстановим. Крест исполинских размеров — торжество тоталитарной геометрии, а распятая на нем душа — незначащее мгновение геометрической вечности. Рационализированный миф язычества и рационализированный миф христианства в графике и тексте Фоменко художественно равноправны: первый обладает, пожалуй, более высоким художественным потенциалом, ибо ближе к подсознанию. Распятия Фоменко проявляют изначальный парадокс христианства, давно замеченный на Востоке; ТАКОЙ КРЕСТ нельзя любить и нельзя сделать символом ничего человеческого.
Геометрия (в техническом смысле этого слова — теория измерений и твердых тел) противостоит топологии как стена или крест противостоят живому телу. Гомеоморфизм изображается скрученной в пыточной камере плотью: сама камера вырастает до вселенских размеров: она не может быть ограничена даже стенами. Стены у Фоменко ничего не ограничивают и ничего не разделяют: если приглядеться — их пытают этим существованием, так же как и людей. Реалистически изображена мука: все остальное лишь чудится измученному сознанию. Имеются многочисленные переклички между работами Фоменко с резко выявленными урбанистическими мотивами и так называемой "бумажной архитектурой": они заслуживают отдельного рассмотрения.
Дюрер изучал перспективу как дар искусству от просвещенного просветленного) разума: Фоменко возвращает этот дар с серьезностью, которая могла бы показаться пародийной, если бы не была трагической. Его вариации не темы старых мастеров (например, высоко ценимая мною "Меланхолия") — отчаянное усилие возобновить диалог с культурой, и в этом он повторяет судьбу всего искусства постиндустриальной эпохи.
Геометрия правит перспективой, топология — деформацией.
Деформация вообще есть старинный многофункциональный прием искусства. Олень в наскальной галерее великолепно деформирован бегом — разные части его тела увидены в разные моменты времени. Детский рисунок или ковчег Мемлинга деформирован прекрасным видением времени, для которого нет мгновения, а есть лишь длительность, равноправная с пространственной протяженностью. Фигуры Микельанджело деформированы напором божественной энергии, рвущейся изнутри всего сущего: фигура Босха — ухмылкой дьявола: фигуры Сальвадора Дали — тщательно спроектированным хаосом.
Фоменко предлагает читателю на выбор два способа рационализации искаженного мира; посредством математики или мифологии, то есть смыкает вершины рационального размышления с глубинами архаического и бессознательного.
В этом сопоставлении есть глубокая и поучительная ирония: невозможность выбора заставляет признать его ненужность, отождествить крайности и взглянуть со стороны на спокойное существование бытового рассудка. Если в Гамлетовском безумии есть своя система, то и во всякой системе есть свое безумие: способы, которыми Фоменко это демонстрирует, доходят до изощренности в комментарии к листу 139(каталог-243); сообщение о том, что узор игральных камней на стене изображает десятичное разложение "пи", но одна из цифр сознательно изменена. Недоступность истины, сопровождаемая сознанием искаженности ее передачи — слишком хорошо знакомое моим современникам чувство: здесь оно усугубляется внезапным пониманием, что истина и не нужна.
Со всем тем я не хочу сказать, что нам и художнику следует искать утраченный рай гармонии. Дело художника — честность и умение: тогда он становится одним голосом в большом хоре времени, музыка для которого пишется неведомо кем.
На передней стене монумента изображено десятичное разложение числа "пи":
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944...
Каждой цифре отвечает свой квадратик, содержащий несколько черных кругов (пятен). Число кругов равно соответствующей цифре. После того, как первая строка закончилась, десятичное разложение перепрыгивает в начало второй строки и т.д. На боковой стороне монумента аналогичным образом изображено начало десятичного разложения другого замечательного числа, а именно, числа "е":
2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669...
Такие десятичные разложения применяются как датчики случайных чисел. Они используются в теории кодирования. Вычисление последовательных цифр десятичного разложения — интересная задача, решаемая при помощи компьютеров. Зритель может увидеть здесь пример фрактала, т.е. замкнутого подмножества плоскости, размерность которого выражается дробным числом (не целым!). Один из способов получения таких множеств — это последовательное выбрасывание из плоскости открытых непересекающихся дисков, постепенно уменьшающихся в размерах. Выбрасывать надо так, чтобы "остаток" (аналог классического канторова множества) имел бы ненулевую хаусдорфову размерность.
Число — это одно из самых глубоких понятий, выработанных мыслителями. Числам и их толкованию придавалось огромное значение в научных и философских средневековых системах. Раньше цифры обозначались буквами, что открывало дополнительные возможности при истолковании чисел. Подставляя вместо цифр соответствующие им буквы, получали разнообразные слова. Хорошо известны разнообразные толкования числа 666 и т.д. Средневековая схоластика, интерпретировавшая таким образом некоторые средневековые тексты, превратилась в результате в рафинированную "науку".
На киностудии "Союзмультфильм" в 1988 году режиссером В. И. Тарасовым был создан с использованием моих работ получасовой мультфильм «Перевал» по повести Кира Булычева.
А. Т. Ф о м е н к о
А. Т. Ф о м е н к о
Комментариев нет:
Отправить комментарий